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大学数学立体化教材
2013年陕西省高考数学试卷（文科）
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发布:
高中数学空间
更新:
2017-06-21
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1. 设全集为
，函数
的定义域为
，则
为（ ） (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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2. 已知向量
，若
，则实数
等于（ ） (
5分
)
A.
B.
C.
或
D.
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3. 设
均为不等于
的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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4.
根据下列算法语句，当输入
为60时，输出
的值为（ ）.
(
5分
)
A. 25
B. 30
C. 31
D. 61
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5. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图喂检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间
上的为一等品，在区间
和区间
上的为二等品，在区间
和
上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）.
(
5分
)
A. 0.09
B. 0.20
C. 0.25
D. 0.45
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6. 设
是复数，则下列命题中的假命题是（ ） (
5分
)
A. 若
，则
是实数
B. 若
，则
是虚数
C. 若
是虚数，则
D. 若
是纯虚数，则
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7. 若点
位于曲线
与
所围成的封闭区域，则
的最小值为（ ）. (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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8. 已知点
在圆
外，则直线
与圆
的位置关系是（ ）. (
5分
)
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
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9. 设
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的形状为（ ）. (
5分
)
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
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10. 设
表示不大于
的最大整数，则对任意实数
，有（ ）. (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）.
1. 双曲线
的离心率为
.
(
5分
)
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2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.
(
5分
)
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3. 观察下列等式：
照此规律，第
个等式可为
. (
5分
)
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4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长
为
（m）．
(
5分
)
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选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
1. 设
，则关于实数
的不等式
的解集是________. (
5分
)
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2. （几何证明选做题） 如图，
与
相交于点
，过
作
的平行线与
的延长线相交于点
．已知
，
，则
________.
(
5分
)
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3. 圆锥曲线
（
为参数）的焦点坐标是________. (
5分
)
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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）.
1. 已知向量
，设函数
；
（Ⅰ） 求
的最小正周期．
（Ⅱ） 求
在
上的最大值和最小值．. (
12分
)
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2. 设
表示数列
的前
项和．
（Ⅰ） 若
为等差数列，推导
的计算公式；
（Ⅱ） 若
，且对所有正整数
，有
．判断
是否为等比数列，并证明你的结论． (
12分
)
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3.
如图，四棱柱
的底面
是正方形，
为底面中心，
平面
，
．
（Ⅰ） 证明：平面
平面
；
（Ⅱ） 求三棱柱
的体积． (
12分
)
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4. 有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
组别
人数
50
100
150
150
50
（Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
（Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若
，
两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． (
12分
)
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5. 已知动点
到直线
的距离是它到点
的距离的
倍．
（Ⅰ） 求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ） 过点
的直线
与轨迹
交于
两点．若
是
的中点，求直线
的斜率． (
13分
)
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6. 已知函数
．
（Ⅰ） 求
的反函数的图象上的点
处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线
与曲线
有唯一公共点．
（Ⅲ） 设
，比较
与
的大小，并说明理由． (
14分
)
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